几何概型和古典概型是随机概率中两类主要模型，是概率考查中的重点，下面就几何概型的知识与常见题型做一梳理，以期能使读者对于这一知识点做到脉络清晰，条理分明。

一基本知识剖析

1.几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。

2.几何概型的概率公式：

3.几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．

4.几何概型与古典概型的比较：一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的；而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度（或面积、体积等）有关，即试验结果具有无限性，是不可数的。这是二者的不同之处；另一方面，古典概型与几何概型的试验结果都具有等可能性，这是二者的共性。

通过以上对于几何概型的基本知识点的梳理，我们不难看出其要核是：要抓住几何概型具有无限性和等可能性两个特点，无限性是指在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的，这是区分几何概型与古典概型的关键所在；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的，这是解题的基本前提。因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的基本思路是相同的，同属于“比例法”，即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形的长度、面积（体积）和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积（体积）和角度等”之比来表示。下面就几何概型常见类型题作一归纳梳理。

二常见题型梳理

1.长度之比类型

例1.小赵欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出考察，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求小赵等车时间不多于10分钟的概率．

分析：因为客车每小时一班,而小赵在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件，且属于几何概型中的长度类型.

解析:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,而事件的总体是整个一小时，即60分钟，因此，由几何概型的概率公式,得P(A)=(60-50)/60=1/6，即此人等车时间不多于10分钟的概率为1/6

例2在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率．

分析：正方形的面积只与边长有关，因此，此题可以转化为在12cm长的线段AB上任取一点M，求使得AM的长度介于6cm与9cm之间的概率．

解析：记“面积介于36cm2与81cm2之间”为事件A，事件A的概率等价于“长度介于6cm与9cm之间”的概率，所以，P(A)=(9-6)/12=1/4

小结：本例的难点不是在于几何概型与古典概型的区别，而是将正方形的面积关系转化为边长的关系，从而将问题归为几何概型中的长度类型，这是本例的关键之处。同时又体现了数学上的化归思想的作用。

2.面积、体积之比类型

点评：本小题中的试验结果是区域中的部分点集，其结果是不可数的，属于几何概型中典型的面积之比。

3.角度之比型

小结：“会面”类型常见的载体是两人相约见面、轮船停靠泊位等，其关键是构建相遇的不等式（组），借助于线性规划知识，将其面积之比求出，使得问题得以解决。

5.与其他章节知识综合类

点评：将方程的根、线性规划问题以及概率知识等问题有机地结合在一起，注重在知识的交汇处命题，是近年来高考的命题趋势。本题设计新颖，考查综合。

以上，和大家共同探讨了几何概型常见题目中最为典型的五种类型题目，即长度之比类型、面积（体积）之比类型、角度之比类型、会面问题类型和综合类型，不管解决哪种类型问题，其关键都要选择适当角度，使基本事件转化为与之对应的总体区域，所求问题转化随机事件对应的子区域，然后代入公式进行计算求解。这其中特别要注意分析清楚，试验的基本事件应该属于与长度（包括时间长度）、面积（体积）还是角度等，这样才能寻到正确的解题方向，避免出现错误。

变式练习：

（1）．已知某地铁列车每10min一班，在车站停1min，求乘客到达站台立即乘上车的概率。

（2）．某地原来每两支路灯间相距60m，为改善照明状况，加快新农村建设的步伐，决定在两支之间再添一支，求新添的一支灯与两端的距离都大于20m的概率．

变式练习答案：：

（1）记“乘客到达站台立即乘上车”为事件A，由几何概型知，所求事件A的概率为P(A)=1/11；

（2）记“灯与两端距离都大于20m”为事件A，由几何概型知，所求事件的概率P(A)=20/60=1/3．

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